1. Conceptos básicos.

.1.1 Uso de los métodos numéricos.
.1.2 Análisis del error.
.1.3 Introducción a Mathcad Matlab.



1.1.1 Uso de los métodos numéricos.

En el análisis numérico se trata de diseñar métodos para aproximar, de una manera eficiente, las soluciones de problemas expresados matemáticamente. La eficiencia del método depende tanto de la precisión que se requiera como de la facilidad con la que pueda implementarse. En una situación práctica, el problema matemático se deriva de un fenómeno físico sobre el cual se han hecho algunas suposiciones para simplificarlo y para poderlo representar matemáticamente. Generalmente cuando se relajan las suposiciones físicas llegamos a un modelo matemático más apropiado pero, al mismo tiempo, más difícil o imposible de resolver explícitamente. Ya que normalmente de todos modos el problema matemático no resuelve el problema físico exactamente, resulta con frecuencia más apropiado encontrar una solución aproximada del modelo matemático más complicado que encontrar una solución exacta del modelo simplificado. Para obtener tal aproximación se idea un método llamado algoritmo. El algoritmo consiste de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático y se espera que también al problema físico, con una tolerancia o precisión predeterminada.

Como la eficiencia de un método depende de su facilidad de implementación, la elección del método apropiado para aproximar la solución de un problema está influenciada significativamente por los cambios tecnológicos en calculadoras y computadoras. Hace veinticinco años, antes del uso generalizado del equipo digital de cómputo, no se podían aplicar los métodos que requerían una gran cantidad de cómputo. Sin embargo, desde entonces, los adelantos en el equipo de cómputo han hecho que estos métodos sean más y más atractivos. El factor limitante en la actualidad es generalmente la capacidad de almacenamiento de la computadora, a pesar de que el costo asociado con los tiempos de cómputo es, desde luego, también un factor importante.

La disponibilidad de computadoras personales y de calculadoras programables de bajo costo es también un factor que influye en la elección de un método de aproximación, ya que éstas pueden usarse para resolver muchos problemas relativamente simples.

Las ideas básicas sobre las cuales se apoyan la mayoría de las técnicas numéricas actuales se conocen ya desde hace algún tiempo, al igual que los métodos usados para predecir las cotas del error máximo que se puede producir al aplicar los métodos. Por lo tanto, es de interés primordial determinar la manera en la que estos métodos se han desarrollado y cómo puede estimarse su error, ya que, sin duda, algunas variaciones de estas técnicas se usarán en el futuro para desarrollar y aplicar procedimientos numéricos independientemente de la tecnología.

1.1. Clasificacion De Los Numeros Reales.

El conjunto de los números reales se clasifican en:


- El conjunto de los números naturales.
- El conjunto de los números negativos.
- El conjunto de los números enteros.
- El conjunto de los números racionales.
- El conjunto de los números irracionales.

El conjunto N es el primer conjunto numérico con el que tenemos contacto y fue durante muchos años el único, hasta que descubrimos que algunas operaciones no eran posibles con sus elementos, como el encontrar un número que sumado a otro nos dé este mismo, ejemplo:

5 + a = 5, siendo a ∊ N; hubo necesidad de inventar otro número, el 0, a este nuevo conjunto lo designaremos con la letra C.

Pero todavía había dificultades, aun en este conjunto no había un elemento que sumado al 5, por ejemplo, nos diera 3; para resolver este problema se definieron los números inversos aditivos o negativos y así se dice que por cada número natural "n" hay un inverso o negativo "-n". Este nuevo conjunto lo llamaremos E, se define como el conjunto de números enteros positivos, negativos y cero, siendo N ⊂ E por definición.

También en la multiplicación hubo problemas, pues ningún elemento de E, multiplicado por 8, digamos, nos da 4, lo cual dio lugar a que se definieran los números que resolvieran el problema, formándose otro conjunto que llamamos el de los números racionales y que designaremos con una D, definiéndose sus elementos como sigue:

"Un número x es racional si se puede representar como el cociente de dos enteros, siendo el divisor diferente de 0".

"x ∊ D ⇔ x = a/b y a, b ∊ E, b ≠ 0"

Existen números que no cumplen con la definición anterior, por lo que no son elementos del conjunto D: se les llama números irracionales; a estos pertenece el número π que ya has usado antes en la geometría al resolver problemas de circunferencias.

Al conjunto de los números irracionales le designaremos con la letra D', ya que su unión con el conjunto D forma el conjunto de los números reales que será nuestro universo y que designaremos con la letra R; D ⋃ D'= R.
El número racional se representa como una división, y así lo podemos reconocer, pero ¿cómo reconocerlo cuando tenemos el cociente o resultado de esa división? Tomemos el número 1/2, el cociente es 0.5, ahora el 7/3 su cociente nos da 2.33333... (recuerda que los puntos suspensivos significan que la parte decimal se sigue hasta infinito). Con estos ejemplos se ilustra otra definición de los números racionales usando su presentación decimal y dice: "Un número x es racional si su parte decimal termina (como en 1/2), cuando es infinita un dígito o grupo de dígitos se repite o es periódico (como el 3 en el número 7/3)".
Ejemplos: Diga si los números siguientes son o no racionales, explique:

a) 5/3  Este número es racional porque es el cociente de dos enteros, 5 y 3; su cociente es 1.666... cuya parte decimal es periódica.

b) 6  15/16  Este número conocido como mixto en aritmética, es en realidad la representación de la suma de 6 con 15/16, (en algebra no utilizaremos estos números porque se confundirían con el producto de 6 por 15/16); la suma es 111/16, cociente de dos enteros que nos da 6.9375 cuya parte decimal termina; por lo anterior, el número es racional.

Siendo N un conjunto infinito y N ⊂ R, entonces R también es infinito; en seguida presentamos algunos subconjuntos importantes de R:

N = {1,2,3,4,...}          Conjunto de números naturales.
C = {0,1,2,3,4,...}        Conjunto de números no negativos.
E = {...,-2,-1,0,1,2,...}  Conjunto de números enteros.
D = {x∊R|x=a/b, a,b∊E,b≠0} Conjunto de números racionales.

Los cuatro conjuntos se relacionan entre sí y con el conjunto R de acuerdo con lo siguiente:

N ⊂ C ⊂ E ⊂ D ⊂ R

Hemos definido al conjunto de los números reales, con cuyos elementos vamos a trabajar, y más adelante veremos los postulados de campo en los que nos basaremos para estructurar el "campo de los números reales".

Información obtenida del libro de apoyo emitido por la SEP para la Preparatoria Abierta. Matemáticas I. primer semestre. Pág. 114 - 115.